Đại số

Một đại số phổ dụng, gọi tắt là đại số là một cặp ( A , Ω ) {\displaystyle (A,\Omega )} , trong đó A là một tập hợp không rỗng, được gọi là tập nền và Ω {\displaystyle \Omega } là tập hợp (hữu hạn hoặc vô hạn) các phép toán trên A.

Phép toán

Phép toán n ngôi ω {\displaystyle \omega } trên A với n ≥ {\displaystyle \geq } 1, n ∈ N {\displaystyle \in \mathbb {N} } là ánh xạ:

ω : A n → A {\displaystyle \omega :A^{n}\to A} ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) ↦ a 1 a 2 . . . a n ω {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})\mapsto a_{1}a_{2}...a_{n}\omega }

Trong đó, ký hiệu a 1 a 2 . . . a n ω {\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{n}\omega } thay cho ω ( a 1 a 2 . . . a n ) {\displaystyle \omega (a_{1}a_{2}...a_{n})} là viết theo ký pháp Ba Lan. Để ký hiệu ω {\displaystyle \omega } là phép toán n-ngôi ta viết ω ∈ Ω n {\displaystyle \omega \in {\Omega }_{n}} Ta cũng gọi là phép toán không ngôi ω ∈ Ω 0 {\displaystyle \omega \in {\Omega }_{0}} là phép chọn một phần tử cố định trong A, kết quả phép chọn ω {\displaystyle \omega } được ký hiệu là 1 ω {\displaystyle \omega }

Kiểu của đại số

Cho ( A , Ω A ) {\displaystyle (A,{\Omega _{A}})} là đại số với hữu hạn phép toán ω 1 , . . . , ω n {\displaystyle {\omega }_{1},...,{\omega }_{n}} . Dãy các ngôi của các phép toán đó ( n ( ω 1 ) , . . . , n ( ω 1 ) ) {\displaystyle (n({\omega }_{1}),...,n({\omega }_{1}))} được gọi là kiểu của đại số A.